数学を理解することで人間理性を理解する

最初の出会い–––特別な数学教師との“遭遇”

中学 2 年のユークリッド幾何学の授業で、先生はユークリッドの公理を使って、一つひとつの主張を証明してみせました。たとえば、平面上の相異なる二円の共有点は高々二つであることなど、ごく当たり前に自然なことだと思っていたことを、先生は厳密に証明していったのです。それがわたしと数学との最初の「偶然の」出会いでした。

わたしは小学生の頃から「なぜ」と質問するのが好きでした。(何度も繰り返し「なぜ？」と質問していたわたしは、とても手間のかかる子供だったことでしょう)。数学の構造は、わたしにはとても潔く思えました。数学はいくつかの基本的な主張を公理として認めています。数学ではいくらでも理由を問うことができるし、問わねばならないのですが、ある時点で“妥当なもの”として認めるわけです。その点、わたしの数学の先生は傑出していて、彼は教育における自らの理念と哲学をわたしたちのクラスで見事に実践していきました。

数学を専門的に追求する

初めて数学に“触れて”以来、わたしの中で多くの疑問が生じました。たとえば、中学 3 年の時に、代入が“できなく”なりました。「x=y ならば、f(x)=f(y)である」――なるほどその通りだとはもちろん思いましたが、でも普通は、この証明はされません。その意味でわたしは「納得できなかった」のです（後にわたしは、これが現代数学の公理のひとつであることを知りました）。もっと深刻な例もあります。「Aまたは B」が成り立ち、B が成り立たないならば、A が成り立つ。なぜこの論理法則が成り立つのか–––？

後者の問題、論理の妥当性への疑問は、数学の問題ではないことはわかっていました。むしろ哲学に属する問題なのだと。そこでわたしは学部生時代、数学だけではなく、哲学、言語学、神経科学などを学び、教養の幅を広げようとしました。大学 3 年生になったある時、この疑問については考えることをやめることになります。わたしたち人間は、（数学的）論理を正当なものとして受け入れ、それを前提にものを考える生き物なのだと「納得する」ようになったのです。

しかしその次の瞬間、また新たに疑問が生じました。「では人間理性、とりわけ数学的推論の限界はどこにあるのか？どのような数学的主張は証明できないのか？そして、数学を理解する上で、我々の論理とproof systemの有効性はどの程度なのだろうか？」これらの疑問には、数学以外にも、哲学や言語学、その他の学問分野から多角的にアプローチが可能です。しかし、わたしには、数学が一番性に合っていると感じました。数学について発表する自分を想像したとき、一番自信が持てると思ったからです。そこからわたしは、数理論理学にのめり込んでいき、Proof Complexityが専門分野となりました。

Proof Complexity：バーズ・アイから見た数学

数理論理学、あるいは今回はメタ数学という言葉が正しいかもしれませんが、わたしは、「数学そのもの」を研究しています。Proof Complexityは、数理論理学のひとつで、数学的証明の長さを考察する分野です。アプローチとしては、まず「自然言語」（特に、数学的議論をするのに必要十分な表現力を持った制限を考えます）、「理論」、「証明」の「数理モデル」を立てます。「証明」の「数理モデル」にはさまざまな種類があり、それぞれが proof systemと呼ばれます。Proof systemを固定するたびに、それに基づく証明の長さを分析することができます。以上がProof Complexityのあらましになります。かなり抽象的に聞こえるかもしれませんし、実際そうなのですが、ある種のルールベースの AI の性能評価などへの応用もされている、（産学を問わず）数学を営む人々の日常に直接関わってくる分野だと思っています。

ひとりで、あるいは共同で：数学研究のさまざまな形態

クリエイティブな仕事に取り組むとき、わたしたちは一人で仕事をすることが多いわけですが、同時に、同僚とコミュニケーションをとり、互いの考えを議論し合うことも大事ですよね。こうしたコミュニケーションによっても、自ずと進展していくものだからです。

この二つのバランスは人によってまちまちですが、わたしは誰かとのコミュニケーションを好むタイプです。以前にカレル大学（プラハ）を訪れたときは、たくさんの対話の中で、多くの新しい同僚たちとめぐりあうことができました。パンデミックの間はひとりで研究をしていましたが、誰かとの議論なしにひとりで研究することは自分には向いていないと痛感しました。学部生だったころ、クラスメートや同僚に物理的に囲まれていたからこそ、多くのことを吸収できたのだなと。そこでカレル大学でも積極的に授業に参加して、できる限りオフィスに残るようにしました。これはとても効果的であったと思います。

FoPM プログラム

FoPM プログラムは、わたしにとって完璧な環境を作り出していると思います。FoPM（The Forefront Physics and Mathematics Program to Drive Transformation）は、多様な分野の学生が集う卓越大学院プログラムで、学生が海外で研究を行うのに必要な経済的支援をしています。実際、カレル大学への留学期間のうち、後半部分はこの支援のおかげで充実していました。

また、このプログラムでは、月に一度、さまざまな分野の学生が集まって研究発表やディスカッションをするセミナーがあり、新しい仲間と出会う絶好の機会となっています。わたしは、これにより、自身が遠ざかっていた分野のひとつである「神経科学」の学生たちと語り合う機会を得ました。彼らはハエの脳の構造や、ハエの脳神経回路の完全なマップを作る研究について教えてくれました。このマップは、脳における計算プロセス全般の理解に大きく貢献するように思われました。わたしにとっては、科学者たちがどのような脳の計算モデルを考えているのか知ることができた、非常に興味深い話でもありました。

FoPM は、学生向けの国際セミナーを含むキャリアセミナーも開催しています。テーマはさまざまですが、留学、就職活動、国際コミュニケーションなどについてのヒントが多く盛り込まれていると思います。これらのセミナーのおかげで、日本学術振興会の海外留学制度があることを知り、カレル大学への留学の前半はそれを利用したのです。

わたしは FoPM の学生有志で作った非公式コミュニティにも参加し、たとえば、アカデミア特有の少し困難な手続きや仕組みをうまく乗り切るコツなどの情報交換の場としてさらにコミュニケーションの輪を広げています。

ウィーン大学にて。カレル大学を基地に方々足を伸ばして学術活動をしていました©権英哲

Proof Complexityのメッカでの研修

Proof Complexityの中心地であるプラハのカレル大学を 1 年ほど訪れました。そこには影響力のある研究者がたくさんいて、そのうちの一人は、この分野で現存する 5 冊のモノグラフのうち 3 冊を書いた人物でした。先生にホストとなっていただき、わたしは先生と研究室のPhD studentsから多くのことを学びました。このほかにも、学会や毎週のセミナーで、著名な現役の研究者たちとたくさん出会い、Proof Complexityのさまざまなサブフィールドにおける最新の問題に触れることができました。こうして、どのような問題が関心を集めているのかを学び、他の研究者とコラボレーションする機会を得たのです。

わたしにとってチェコの文化はどこか日本に似ているように感じました。そのため、カルチャーショックを経験せずに過ごせた日々は、とても快適でした。ただ、ひとつチェコでは「こんにちは」と「さようなら」が同じ "ahoj（アホイ）" という言葉だということに驚きを感じました。

チェコ・プラハにて©権英哲

身体と心をつなげて数学力を高める

日本にはパフォーマンスを最大化するための「心技体」という考え方があります。「心」は「こころ」、「技」は「わざ」、「体」は「からだ」。「心」を養うために、わたしはつねに「真摯」であることを勧めます。具体的には、「他の人がやっていることに興味を持つ」ということです。そうすることで、その分野の最新の動向を知ることができます。「技」を磨くには、質問し続けることが重要です。質問は学問におけるコミュニケーションの原点だからです。あなたが質問し続ければ、他の人もまた、あなたに質問を返してくれるようになります。それらの積み重ねによって、自分自身や自分の将来性について、多角的に考えることができるようになっていくでしょう。すると、自然と自分の進む道が見えてくるはずです。「体」のメンテナンスについては、質の良い睡眠が極めて重要です。わたしは、たくさんの極めて優秀な同僚に恵まれ、彼らから本当に多くのことを学ぶことができました。その中でも興味深いのは、彼らはみな共通して、睡眠をとても大切にしているということです。数学者は、パフォーマンスの平均値を上げるのではなく（瞬間的な）最大値を存分に発揮すべきだとわたしは考えていますが、そのためには十分な睡眠が必要不可欠なのだと学びました。

※2024年取材時
撮影/貝塚純一
英語取材・文：ベルタエメシェ（訳：武田加奈子）
文章は簡潔にするために編集されています。