この講義では，反応拡散方程式（または反応拡散系）と呼ばれる半線形放物型偏微分方程式の定常問題として現れる，半線形楕円型偏微分方程式の解の形状と解の安定性について考える．例えば，シマウマの縞模様や巻貝の模様や流体の対流（の方程式を簡単化したもの）などが，この方程式（系）で記述されることが知られている．反応拡散方程式は，20世紀前半から現在まで，長い研究の歴史がある．この方程式は時間発展方程式であるが，その研究の第一歩として，定常解（時間に依らない定常状態）を求めたい．反応拡散方程式は，物理学や化学や生物学において現れるモデル方程式という側面が強いため，定常解の中でも物理的に実現可能である安定定常解が興味ある対象となる．そこで，非自明な安定定常解が存在するのか？，存在するとすれば，領域や非線形項や解の形状と，どのような関係があるのか？などについて考察する．特に，連立半線形楕円型方程式については解析が困難であるため，シャドー系と呼ばれる近似方程式系を導入する．シャドー系における安定定常解の形状を探る問題が，「ホットスポット予想」と呼ばれる熱方程式に関する有名な未解決問題と密接に関連することを解説し，非線形解析の手法を用いて，条件付きではあるが証明を与える．さらに，この予想を一般化した，「非線形ホットスポット予想」を，特殊な領域の場合について証明し，この方面の今後の課題について解説する．
　反応拡散方程式系の定常解とその安定性について考察する過程で，抽象的な関数解析の様々な定理が，具体的な問題にいかに応用され便利な道具であるかを実感することになるであろう．

In this lecture we consider the shape and stability of a stationary solution of semilinear parabolic equations or systems which is also called reaction-diffusion equations or systems. The stripe pattern of a zebra and various patterns of shell can be described as these equations. These equations have a long history of research more than 80 years. Although these equations are time evolution equations, we consider stationary solutions. Since these equations appear as mode equations in physics, chemistry, and biology, we would like to study stable stationary solutions which can happen in nature. Problems are as follows for example: Does nontrivial stable steady state exist? If it exists, then what shape is it? Since a reaction-diffusion system is difficult to study, we reduce the system to a shadow system. We see that the shape of the stable steady state of a certain shadow system has a deep relation with the so-called hot spots conjecture, and show the conjecture under a certain assumption. We prove the nonlinear hot spots conjecture, which is a generalization of the standard hot spots conjecture, for some specific domains.
In the study of the stability of steady states of reaction-diffusion system we see that various general theorems in functional analysis are powerful tools.

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H201
全15回
1/22～1/26