偏微分方程式の初期値問題

下村 明洋(数理科学研究科 准教授)

偏微分方程式とは,独立変数が2つ以上の微分方程式のことである。(独立変数が1つの微分方程式は,常微分方程式とよばれる。)微分方程式は自然現象を記述するための手段のひとつとして重要な役割を果たしている。偏微分方程式の例として,量子力学の基礎方程式であるシュレディンガー方程式や,流体力学におけるナヴィエ・ストークス方程式などが挙げられる。以下では,偏微分方程式について,関数解析的な問題設定と考え方を紹介する。

偏微分方程式論での基本的な問題のひとつとして,まず,偏微分方程式の解の存在について考える。(自然現象を記述する偏微分方程式に対して,現象を記述するのは方程式そのものではなくその解であることに注意する。)偏微分方程式において,方程式が比較的単純な場合や特殊な構造をもつ場合には解を具体的に表示できることがあるが,一般には解を具体的に表示することは期待できない。また,偏微分方程式の解の存在は,一般には必ずしも自明なことではない。そこで,より多くの偏微分方程式を扱えるようにするための方法のひとつとして,まず適当な関数空間を設定し,その枠組みで解の存在について考える。もう少し詳しく言うと,非線型クライン・ゴルドン方程式のような時間発展を記述する偏微分方程式においては,「適当なクラスの(与えられた)初期値に対して方程式の解が適当な関数空間に唯ひとつ存在するか」という問題設定を考えるのが標準的である。この関数空間は方程式との数学的・物理的な相性や必然性によって適切に選択し,関数空間の枠を広くするか狭くするかによってこの問題に対する答は変わる。ここで用いられる関数空間は,ほとんどの場合,無限次元のバナッハ空間(ノルムを備えた線型空間でそのノルムで完備になる空間)である。解の存在と一意性は,無限次元の関数空間において,不動点定理を利用して(あるいは,逐次近似によって)示されることが多い。このような問題を解決するために,おもに,関数解析やフーリエ解析などの解析学がしばしば用いられる。

数理科学研究科には,専門分野が「関数解析的方法による偏微分方程式の研究」と関係の深い教員が在任している。筆者にわかる範囲で紹介すると,片岡清臣教授(佐藤超関数を用いた偏微分方程式の研究など),儀我美一教授(ナヴィエ・ストークス方程式など),中村周教授(シュレディンガー方程式など),俣野博教授(非線型楕円型および放物型方程式など),山本昌宏教授(微分方程式の逆問題など),北田均准教授(散乱理論など),齊藤宣一准教授(偏微分方程式の数値解析など),鹿島洋平特任助教(非線型拡散方程式など),および,筆者(非線型シュレディンガー方程式など)が,上記分野に関係する研究を行っている。