本講義では複素多様体上の正則曲線について解説する。滑らかな複素多様体は抽象的に定義する上では易しいが、具体的に調べようとするとその滑らかさのために手掛かりを見つけるのが困難なことがしばしばある。多様体の特異点はそれ自体複雑な構造を持ち多様体の研究の障壁となりうるが、一方で多くの情報が集中しているとも考えられ、様々な研究の手掛かりとなりうる。このような考え方が正則曲線の研究にいかに適用されるかを具体例を通して見る。
はじめにトーリック多様体の初歩について触れたのち、2次元複素トーラスを例に特異トーリック多様体への退化を具体的に構成する。この場合を例として、退化した多様体上の正則曲線の情報とトロピカル曲線と呼ばれる組み合わせ的な対象の対応を考察し、それに基づいていかに元の多様体の情報が得られるかを学ぶ。

This course deals with holomorphic curves on complex varieties. Although smooth complex varieties are easy to define, when we attempt to figure out explicit properties of them, the smoothness often prevents us from finding a foothold to start with. On the other hand, while singularities of varieties can itself be obstacles to the study, they can also be clues, since considerable amout of informations of varieties tend to concentrate in them. We will see how this idea is applied to the study of holomorphic curves through explicit examples.
We will begin with the basics of toric varieties, then give the construction of degeneration of varieties into singular toric varieties. The main example is a complex two dimensional torus. Using this example, we explain the relation between holomorphic curves on degenerate varieties and certain combinatorial object called tropical curves. Finally, we will see how such combinatorial data can be used to extract informations of the original varieties.

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H201
11/6～11/10