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数学特別講義J(東京工業大学)
Special lectures on advanced topics in Mathematics J (Tokyo Institute of Technology)


現在の希望状況
Current status
聴講希望受付期間外です
大学 University 東京工業大学
Tokyo Institute of Technology
研究科等 Graduate School 理学院
School of Science
学内講義コード Course code MTH.E534
講義名
Course title
数学特別講義J
Special lectures on advanced topics in Mathematics J
教員名
Teaching staff
田口 雄一郎・※ 山内 卓也
Taguchi Yuichiro・※ Yamauchi Takuya
聴講希望受付 Registration period 2017/09/25〜2017/10/14
Sep 25, 2017 — Oct 14, 2017
単位数 Credit 2
開講言語 Language 日本語
Japanese
説明
Course details

本講義の目的はガロア表現の保型性に纏わるセール予想とその一般化の現状について学ぶ。ガロア表現とは代数体の絶対ガロア群の線形表現のことである。表現の係数は複素数、有限体、局所体等いろいろな設定がある。ガロア理論を経由すればガロア群は有限群の複素係数線形表現から構成されるガロア表現の例である。幾何的な起源をもつ対象、例えば、代数多様体からはエル進エタールコホモロジーを通してエル進体係数のガロア表現が構成される。一方で保型形式からも幾何や跡公式を援用してガロア表現が構成される。ガロア表現を与えたときどのような幾何的対象や保型形式が対応するという問題(これを保型性問題という)は有名なフェルマー予想の解決をもたらす志村谷山予想に関連しており、ワイルズによる解決後爆発的に発展して周辺分野を促進させた。ガロア表現の保型性を解決する方法としては、現在では正標数係数のガロア表現に対する保型性問題の解決とその保型性を標数零に持ち上げる保型性持ち上げ定理を確立する、ことで実行することが標準的な流れである。しかし、前者の問題、それをセール予想と呼ぶ、は一番簡単な有理数体上のGL(2)に関する場合しか解決されておらず、問題をどのように定式化すればよいか解決に向けたはっきりとした方針は立っていないのが現状である。
今回の講義ではまずガロア表現や保型形式の基礎を習った後に原型である有理数体上のGL(2)の場合のセール予想とそのKhare-Wintenberger による証明を簡単に概観する。そして、それがどのように一般化され、またその過程でどういうことが問題となってくるかに焦点を当てて講義を進めていきたい。また、それと同時にガロア表現や保型形式に関する基礎知識を習得することも目的とする。

The purpose of a series of lectures is to study the modularity of a Galois representation and its related conjecture called Serre conjecture. We also learn recent works toward a generalization of Serre conjecture. Galois representations in question are a variety of linear representations which takes the values in several fields as the field of complex numbers, finite fields, and local fields. By using Galois theory with complex linear representations of finite groups give examples of Galois representations. Geometric objects such as algebraic varieties give Galois representations over l-adic fields via etale cohomology. On the other hand automorphic forms also give Galois representations which are obtained by using (arithmetic) geometries and a trace formula. The modularity problem for a given Galois representation asks if there exists an automorphic form which gives rise to the same Galois representation. It related to Shimura-Taniyama conjecture proved by Wiles which plays an important role for Fermat's last theorem. After his results there is much progress in this area.
A standard way to attach the modularity problem is twofold so that firstly we prove the modularity problem for Galois representations over finite fields and then next we lift its modularity to a representation over a field of characteristic zero. The former is called Serre conjecture which is proved only in the case of GL(2) over the field of rational numbers. It is still standing as an open problem in how to precisely formulate Serre conjecture in general. In a series of lectures we first learn basics of Galois representations and automorphic forms. After that the original version of Serre cojecture for GL(2) over the field of rational numbers and its proof due to Khare-Wintenberger would be explained. Further we learn its known generalizations and focus on difficulties came up there. To learn basics of Galois representations and automorphic forms would be regarded as a part of our purpose.

キーワード
Keywords
  • H201
  • 全15回
  • 12/11~12/15
備考 Notes

URL http://www.ocw.titech.ac.jp/index.php?module=General&action=T0300&GakubuCD=1&GakkaCD=311111&KeiCD=11&course=11&KamokuCD=311111&KougiCD=201703924&Nendo=2017&vid=03
定員
Number of seats
講義回数 Number of lectures 講義日程が登録されていません
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